Apollonius representation and complex geometry of entangled qubit states

Abstract

In present thesis, a representation of one qubit state by points in complex plane is proposed, such that the computational basis corresponds to two fixed points at a finite distance in the plane. These points represent common symmetric states for the set of quantum states on Apollonius circles. It is shown that, the Shannon entropy of one qubit state depends on ratio of probabilities and is a constant along Apollonius circles. For two qubit state and for three qubit state in Apollonius representation, the concurrence for entanglement and the Cayley hyperdeterminant for tritanglement correspondingly, are constant along Apollonius circles. Similar results are obtained also for n- tangle hyperdeterminant with even number of qubit states. It turns out that, for arbitrary multiple qubit state in Apollonius representation, fidelity between symmetric qubit states is also constant along Apollonius circles. According to these, the Apollonius circles are interpreted as integral curves for entanglement characteristics. For generic two qubit state in Apollonius representation, we formulated the reflection principle relating concurrence of the state, with fidelity between symmetric states. The Möbius transformations, corresponding to universal quantum gates are derived and Apollonius representation for multi-qubit states is generated by circuits of quantum gates. The bipolar and the Cassini representations for qubit states are introduced, and their relations with qubit coherent states are established. We proposed the differential geometry for qubit states in Apollonius representation, defined by the metric on a surface in conformal coordinates, as square of the concurrence. The surfaces of the concurrence, as surfaces of revolution in Euclidean and Minkowski (Pseudo-Euclidean) spaces are constructed. It is shown that, curves on these surfaces with constant Gaussian curvature becomes Cassini curves. The hydrodynamic interpretation of integral curves for concurrence as a flow in the plane is given and the spin operators in multiqubit |PP...P states are discussed.

Bu tezde, kompleks düzlemde bir noktaya göre bir kübit durumunun temsili, hesaplama tabanı düzlemde sonlu bir mesafede iki sabit noktaya kar¸sılık gelecek şekilde önerilmiştir. Bu noktalar, Apollonius çemberlerinde bulunan kuantum durumları için ortak simetrik durumları temsil eder. Bir kübit durumu için Shannon entropisinin, olasılıkların oranına bağlı olup ve Apollonius çemberleri boyunca sabit olduğu gösterilmiştir. Apollonius temsilinde dolaşıklık, iki kübit durumu için dolaşıklık derecesi (concurrence) ve üç kübit durumu için Cayley hiperderminant hesaplanmıştır. Bu özellikler Apollonius çemberleri boyunca sabittir. Benzer sonuçlar, çift sayıdaki n- kübit durumları için hiperdeterminant hesaplanarak, n- dolaşık (n- tangle) olarak elde edilir. Apollonius temsilinde keyfi seçilmiş birden fazla kübit durumu için, simetrik kübit durumları arasındaki bağlılığın(fidelity) da Apollonius çemberleri boyunca sabit olduğu ortaya çıkmaktadır. Buna göre, Apollonius çemberleri dolaşıklık özelliklerine göre integral eğrileri olarak yorumlanır. Apollonius temsilinde genel iki kübit durumu için kübitlerin yansıma ilkesini dolaşıklık derecesi (concurrence) ile ilişkilendirilerek formüle ettik. Evrensel kuantum kapılarına karşılık gelen Möbius dönüşümleri türetilmiş ve çokkübitli durumlar için kuantum kapılarının devreleri tarafından Apollonius temsili üretilmiştir. Kübit durumları için bipolar ve Cassini temsilleri tanıtıldı ve eş uyumlu kübit durumlar ile ilişkilendirildi. Apollonius temsilindeki kübit durumları için, diferensiyel geometride konformal koordinatlardaki bir yüzey üzerinde tanımlanan metriği dolaşıklık derecesinin (concurrence) karesi olarak önerdik. Öklidyen ve Minkowski (Sözde - Öklidyen) uzaylarında concurrence yüzeyi dönel yüzey olarak inşa edilmiştir. Bu yüzeylerdeki sabit Gauss eğriliğine sahip eğrilerin Cassini eğrileri olduğu gösterilmiştir. Dolaşıklık derecesi (concurrence ) düzlemde bir akış olarak, integral eğrilerinin hidrodinamik yorumu olarak verilmiş ve çok-kübitli |PP...P durumları için spin operatörleri tartışılmıştır.