Finite element based stabilized methods for time dependent convection-diffusion equation and their analysis

Abstract

This study is focused on a Fourier stability and accuracy analysis of the time integration algorithms using generalized trapezioidal family of methods of scalar unsteady convection–diffusion equation with periodic boundary conditions. The discretization in space dimension is performed by standard Galerkin finite element formulation for low Peclet numbers and stabilized finite element formulation for large Peclet numbers. The stability analysis is performed namely by von-Neumann stability analysis. Accuracy is measured in terms of damping errors and phase speed errors. The behaviour of these temporal errors of the particular time stepping algorithms, i.e. forward Euler, Crank-Nicolson and backward Euler methods are compared with each other. Particular attention is given to the stabilized finite element formulation, that is the case where we consider high Peclet numbers. For this case, it is concluded that the Crank-Nicolson time stepping represents a better approximate solution compared to the other time integrators on transport process of an initial wave profile. Finally, at the end of the study, we derive a stabilization parameter under a particular condition on Courant number, which provides the relative phase speed error being almost equivalent to its optimal level, that is, the waves with different Fourier modes propagate almost in the same speed. Theoretical results are confirmed by a number of numerical experiments.

Bu çalışma, durağan olmayan konveksiyon–difüzyon denkleminin uzaysal ayrıklaşstırmada sonlu elemanlar, zamansal ayrıklaştırmada -yöntemi kullanılarak elde edilen sayısal çözümlerinin Fourier kararlılık ve kesinlik analizi üzerinedir. Peclet sayısının küçük olduğu durumlarda uzaysal ayrıklaştırma için standart Galerkin, büyük olduğu durumlarda ise uzaysal ayrıklaştırma için dengelenmiş sonlu elemanlar yöntemi uygulandı. Kararlılık analizi von-Neumann yöntemi kullanılarak gerçekleştirildi. Kesinlik analizi, zamansal olarak, anlık sönüm hatası ve anlık faz hızı hatası türünden ölçüldü. Bu hatalar, -yönteminin özel halleri olan ileri fark, merkezi fark ve geri fark yöntemleri için ayrı ayrı elde edilip, birbirleriyle karşılaştırıldı. Özel olarak, kararlı sonlu elemanlar yönteminin kullanıldığı Pe > 1 durumu için, merkezi fark yönteminin, başlangıç koşulu dalga profili olan taşınım problemlerinde diğer yöntemlerden daha iyi yaklaşık çözüm ürettiği sonucuna varıldı. Son olarak, Courant sayısının özel bir seçimi altında, göreli faz hızı hatasını hemen hemen ideal kılan, diğer bir ifade ile farklı dalga numaralarına sahip dalgaların hemen hemen aynı hız ile yayılımını sağlayan bir parametre elde edildi ve bu parametre seçime yönelik yapılan analizler, sayısal örnekler ile desteklendi.