Modules satisfying conditions that are opposites of absolute purity and flatness

Abstract

The main purpose of this thesis is to study the properties which are opposites of absolute pure and flat modules. A right module M is said to be test for flatness by subpurity (for short, t.f.b.s.) if its subpurity domain is as small as possible, namely, consisting of exactly the flat left modules. A left module M is said to be rugged if its flatness domain is the class of all regular right R-modules. Every ring has a t.f.b.s. module. For a right Noetherian ring R every simple right R-module is t.f.b.s. or absolutely pure if and only if R is a right V-ring or R A×B, where A is right Artinian with a unique non-injective simple right R-module and Soc(AA) is homogeneous and B is semisimple. A characterization of t.f.b.s. modules over commutative hereditary Noetherian rings is given. Rings all (cyclic) modules of whose are rugged are shown to be von Neumann regular rings. Over a right Noetherian ring every left module is rugged or flat if and only if every right module is poor or injective if and only if R = S × T, where S is semisimple Artinian and T is either Morita equivalent to a right PCI-domain, or T is right Artinian whose Jacobson radical contains no properly nonzero ideals. Connections between rugged and poor modules are shown. Rugged Abelian groups are fully characterized.

Bu tezde modüllerin mutlak saflık ve düzlük ile zıt olan özelliklerinin çalışılması amaçlanmaktadır. Bir sağ modülün alt saflık bölgesi mümkün olduğu kadar küçükse, yani sadece düz sol modüllerden oluşuyorsa bu sağ M modülüne alt saflık bölgesi yoluyla düzlük için test modülü (kısaca, t.f.b.s.) denir. Bir sol M modülünün düzlük bölgesi tüm düzenli sağ modüllerin sınıfı ise bu M modülüne pürüzlü modül denir. Her halka t.f.b.s. modüle sahiptir. Sağ Noether halkası için her basit modülün t.f.b.s. ya da mutlak saf olması ancak ve ancak halkanın V-halkası ya da A tek injektif olmayan basit sağ modüle sahip Artin halka, Soc(AA) homojen ve B yarı basit olmak üzere R A × B seklinde olmasıdır. Değşmeli kalıtsal Noether halka üzerinde t.f.b.s. modüllerin karakterizasyonları verildi. Tüm (devirli) modüllerin pürüzlü olduğu halkaların von Neumann düzenli halkalar olduğu gösterildi. Bir sağ Noether halkası üzerinde her sol modül pürüzlüdür ya da düzdür ancak ve ancak her sağ modül fakirdir ya da injektiftir ancak ve ancak S yarı basit halka ve T sağ PCI-bölgesine Morita denk ya da T radikali sıfırdan farklı ideal içermeyen bir Artin halka olmak üzere R = S × T seklindedir. Pürüzlü ve fakir modüller arasındaki bağlantılar gösterildi. Pürüzlü Abelian gruplar tam olarak karakterize edildi.