Quantum calculus of classical Heat-Burgers' hierarchy and quantum coherent states

Abstract

The purpose of this thesis is an application of quantum calculus to classical Heat- Burgers’ hierarchy and quantum coherent states. First we construct random walk on q-lattice, corresponding q-heat equation and exact solutions in terms of new family of q-exponential functions. Then we introduce a new type of q-diffusive heat equation and q-viscous Burgers’ equation, their polynomial solutions as generalized Kampe-de Feriet polynomials, corresponding dynamical symmetry and description in terms of Bell polynomials. Shock soliton solutions with fusion and fission of shocks are found and studied for different values of q. The q-semiclassical expansion of these equations in terms of Bernoulli polynomials is derived as corrections in power of ln q. A new class of complex valued function of complex argument as q-analytic functions in terms of q-analytic binomials is introduced and shown that these binomials are generalized analytic functions. As an application, we construct a new type of quantum states as q-analytic coherent states and corresponding q-analytic Fock- Bargmann representation. Then, we extend the concept of q-analytic function for two complex arguments, called double q-analytic functions, which has q-Hermite binomial expansion. As hyperbolic extension, we describe the q-analogue of traveling waves and find the D’Alembert solution of q-wave equation. By introducing q-translation operators we obtain q-binomials, q-analytic and q-anti analytic functions, q-travelling waves and non-commutative binomials. New type of quantum states as Hermite coherent states and Kampe-de Feriet coherent states are studied by generalization of the known Mehler formula. We introduce Golden quantum calculus, and as an application we study Golden quantum oscillator and its angular momentum representations.

Bu tezin amacı, kuantum hesaplamanın klasik ısı-Burgers hiyerarşisine ve kuantum coherent durumlara uygulanmasıdır. İlk olarak, q-latis(örgü) üzerinde rassal yürüyüş inşa edip, ilgili q-ısı denklemini ve bunun tam çözümlerini q-üstel fonksiyonların yeni ailesi cinsinden bulduk. Daha sonra yeni bir q-difüzyon ısı ve q-viskoz Burgers denklemlerini tanıtıp, çözümlerini genelleştirilmiş Kampe-de Feriet polinomlar cinsinden yazıp, ilgili dinamik simetri ve Bell polinomları cinsinden açıklamasını yaptık. Füzyon ve fisyon şoklardan oluşan şok soliton çözümleri bulunup, bu çözümler farklı q değerleri için incelendi. Denklemlerin, Bernoulli polinomları cinsinden q-yarı klasik açılımı ln q nun kuvvetleri cinsinden yazıldı. Kompleks parametreli kompleks değerli yeni bir fonksiyon sınıfı, q-analitik binomlar cinsinden q-analitik fonksiyonlar olarak tanıtılmıştır ve bu binomların genelleştirilmiş analitik fonksi-yonlar olduğu gösterilmiştir. Bunun uygulaması olarak q-analitik koherent durumlar olan yeni bir çeşit kuantum durumlar ve ilgili q-analitik Fock-Bargmann gösterimlerini inşa ettik. Daha sonra q-analitik fonksiyon kavramını, çift q-analitik fonksiyonlar olarak adlandırdığımız iki kompleks parametreli fonksiyonlara genişletip, bunların q-Hermite polinomları cinsinden açılımını bulduk. Bu fonksiyonların hiperbolik genişlemesi olarak, q-hareket eden dalgaları tanımlayıp, q-dalga denkleminin D’Alembert çözümünü bulduk. q-öteleme operatörleri tanıtılarak q-binomlar, q-analitik ve q-anti analitik fonksiyonlar, q-hareket eden dalgalar ve sırabağımlı binomlar elde ettik. Bilinen Mehler formülünü genelleyerek, Hermite koherent ve Kampe-de Feriet koherent durumlar olan yeni kuantum durumlar bulundu. Altın kuantum hesaplamayı tanıttık, ve uygulaması olarak Altın kuantum osilatörü ve açısal momentum gösterimini çalıştık.