Legendre wavelet collocation method with quasilinearization technique for fractional differential equations

Abstract

We aim to present numerical methods based on Legendre wavelets and quasilinearization technique for fractional Lane-Emden type equations and time-fractional Fisher’s equation. The Lane-Emden equation is a second order singular non-linear ordinary differential equation, which is useful for modelling many astrophysical phenomena such as the distribution of stars in star clusters and star formation in molecular clouds. The Fisher’s equation is a non-linear reaction-diffusion equation that models the spread of mutant genes in a population. We start with a brief discussion of the purpose of studying fractional differential equations. Then some practical aspects of wavelets are explained. We also give introductory definitions and properties of fractional calculus and Legendre wavelets. Using Legendre wavelets and quasilinearization technique, we derive numerical methods for fractional Lane-Emden type equations and time-fractional Fisher’s equation. Moreover, the convergence analysis of both methods is studied. Some problems are solved to evaluate the efficiency of the proposed methods. Test problems show that the proposed methods are very effective.

Kesirli Lane-Emden tipi denklemler ve zaman-kesirli Fisher denklemi için Legendre dalgacıklarına ve kuasilineerizasyon tekniğine dayalı nümerik yöntemler sunmayı amaçlıyoruz. Lane-Emden denklemi, yıldız kümelerindeki yıldızların dağılımı ve moleküler bulutlardaki yıldız oluşumu gibi birçok astrofiziksel olguyu modellemek için yararlı olan ikinci dereceden tekil, doğrusal olmayan bir adi diferansiyel denklemdir. Fisher denklemi ise, bir popülasyondaki mutant genlerin yayılmasını modelleyen doğrusal olmayan bir reaksiyon-difüzyon denklemidir. Kesirli diferansiyel denklemleri çalışmanın amacına ilişkin kısa bir tartışma ile başlıyoruz. Daha sonra dalgacıkların bazı pratik yönleri açıklanmaktadır. Ayrıca kesirli kalkülüs ve Legendre dalgacıklarının giriş seviyesi tanımları ve özellikleri verilmektedir. Legendre dalgacıklarını ve kuasilineerizasyon tekniğini kullanarak, kesirli Lane-Emden tipi denklemler ve zaman-kesirli Fisher denklemi için nümerik yöntemler elde edilmiştir. Ayrıca, her iki yöntemin yakınsama analizi incelenmiştir. Önerilen yöntemlerin etkinliğini değerlendirmek için bazı problemler çözülmüştür. Test problemleri, önerilen yöntemlerin çok etkili olduğunu göstermektedir.