Boundary feedback stabilization of some evolutionary partial differential equations

Abstract

The purpose of this study is to control long time behaviour of solutions to some evolutionary partial differential equations posed on a finite interval by backstepping type controllers. At first we consider right endpoint feedback controller design problem for higher-order Schrödinger equation. The second problem is observer design problem, which has particular importance when measurement across the domain is not available. In this case, the sought after right endpoint control inputs involve state of the observer model. However, it is known that classical backstepping strategy fails for designing right endpoint controllers to higher order evolutionary equations. So regarding these controller and observer design problems, we modify the backstepping strategy in such a way that, the zero equilibrium to the associated closed-loop systems become exponentially stable. From the well-posedness point of view, this modification forces us to obtain a time-space regularity estimate which also requires to reveal some smoothing properties for some associated Cauchy problems and an initial-boundary value problem with inhomogeneous boundary conditions. As a third problem, we introduce a finite dimensional version of backstepping controller design for stabilizing infinite dimensional dissipative systems. More precisely, we design a boundary control input involving projection of the state onto a finite dimensional space, which is still capable of stabilizing zero equilibrium to the associated closed-loop system. Our approach is based on defining the backstepping transformation and introducing the associated target model in a novel way, which is inspired from the finite dimensional long time behaviour of dissipative systems. We apply our strategy in the case of reaction-diffusion equation. However, it serves only as a canonical example and our strategy can be applied to various kind of dissipative evolutionary PDEs and system of evolutionary PDEs. We also present several numerical simulations that support our theoretical results.

Bu çalışmanın amacı zamana bağlı ve sonlu aralıkta tanımlı kısmi diferansiyel denklemlerin çözümlerinin asimptotik davranışının geri-adım tipi kontrol ediciler ile kontrol edilmesi üzerinedir. İlk olarak yüksek mertebeden Schrödinger modeli için, uzaysal bölgenin sağ bitim noktasından etki eden kontrol edici inşası problemini ele alıyoruz. İkinci olarak ise, bilhassa uzaysal bölge boyunca ölçüm yapmanın mümkün olmadığı durumlarda öneme sahip olan gözlemci inşası problemini ele alıyoruz. Bu durumda gözlemci modelin çözümünü içeren ve modele sağ bitim noktasından etki eden kontrol ediciler inşa ediyoruz. Geri-adım yönteminin yüksek mertebeden türevler içeren modellerin kararşılaştırılmasını sağlayan ve modele sağ bitim noktasından etki eden kontrol edicilerin inşasında başarısız kaldığı bilinmektedir. Dolayısıyla kontrol ve gözlemci inşası problemlerine dair geri-adım yöntemini, bu durumun arka planında yer alan sebepleri kaldırmaya yönelik olarak ve sıfır denge çözümünün üstel kararlı kılacak bir biçimde güncelliyoruz. İyi konuşlanmışlık analizi açısından bu güncelleme, bir zaman-uzay kestirimi elde edilmesini ve bu da, analiz boyunca karşımıza çıkan çeşitli Cauchy problemlerine ve homojen olmayan sınır koşulları içeren bir başlangıç-sınır değer problemine ilişkin düzgünleştirici etkilerin ortaya çıkarılmasını gerektirmektedir. Üçüncü bir problem olarak sonsuz boyutlu disipatif sistemleri kararlı kılan, geri-adım tipi sonlu boyutlu kontrol edici inşası stratejimizi sunuyoruz. Daha kesin bir dille ifade edecek olursak, sonsuz boyutlu disipatif sistemlerin sıfır denge çözümünün kararlılığını, çözümün yalnızca sonlu boyutlu bir uzaya izdüşümünü içeren sınır tipi geri beslemeli kontrol ediciler ile sağlıyoruz. Yaklaşımımız, disipatif sistemlerin sonlu boyutlu asimptotik davranışa sahip oldukları gerçeğinden esinlenilerek özgün bir biçimde sunduğumuz hedef modele ve yine özgün bir tanımladığımız geri-adım dönüşümüne dayanmaktadır. Reaksiyon-difüzyon özelinde sunduğumuz stratejimiz, pek çok disipatif modele ve disipatif denklemler sistemine de uygulanabilirdir. Teorik çalışmalarımızın yanı sıra, elde ettiğimiz teorik bulguları doğrulayan pek çok sayısal simülasyon sunuyoruz.