Asymptotic behaviour of gravity driven free surface flows resulting from cavity collapse

Abstract

In this thesis, the gravity driven potential flows that result from cavity collapse are studied. Initially, the collapse of a vertical cylindrical cavity of circular cross sections surrounded by a liquid region is examined for two different situations. In the first one the cavity has same depth as the fluid and in the second one the cavity starts from the free surface and has less depth than the fluid. The problem is formulated by using a small parameter that represents the short duration of the stage. The first problem, as the radius and the centre of the cavity approach infinity, reduces to the classical two-dimensional dam break problem solved by Korobkin and Yilmaz (2009). The singularity of the radial velocity at the bottom circle is shown to be of logarithmic type. In the second problem, where the cavity is less deep than the fluid, the flow region is separated into two regions: the interior one, which is underneath the cylindrical cavity and above the rigid bottom, and the exterior one, which is the rest of the flow. The corresponding new problems are solved separately and then the coefficients are found by applying the matching conditions at the interface, where the fluid radial velocities and pressures coincide. On the limiting case, the problem reduces to the two-dimensional dam break flow of two immiscible fluids by Yilmaz et al. (2013a). Singularity at the bottom circle of the cavity is observed, which is of the same type as in the latter paper. Next, a third problem studies the gravity driven flow caused by the collapse of a rectangular section of a vertical plate. During the early stage, the flow is described by the velocity potential. Attention is paid to determining the velocity potential and free surface shapes. The solution follows the Fourier series method in Renzi and Dias (2013) and the boundary element method in Yilmaz et al. (2013a). Singularity is observed at the side edges and lower edge of the rectangular section. The horizontal velocity of the initially vertical free surface along the vertical line of symmetry of the rectangle is the same to the one in the two-dimensional problem Korobkin and Yilmaz (2009). The singularities observed in these problems lead to the jet formation for the initial stage. The methods applied in these computations are expected to be helpful in the analysis of gravity-driven flow free surface shapes. This thesis is a contribution towards the 3-D generalizations of dam break problems.

Bu tezde, kavitasyon çökmesi sonucu oluşan yer çekimine dayalı potansiyel akışlar incelenecektir. Başlangıçta, bir sıvı bölge ile çevrili ara kesiti dairesel olan bir dik silindirin kavitasyon çökmesi iki farklı durum için incelenir. İlk durumda, kavitasyon sıvı ile aynı derinliğe sahiptir ve ikinci durumda, kavitasyon serbest yüzeyden başlar ve sıvıdan daha az derinliğe sahiptir. Problem, kademenin kısa süresini temsil eden küçük bir parametre kullanılarak formüle edilir. Birinci problemde, kavitasyonun merkezi ile yarıçapı sonsuzluğa yaklaştığında, problemin Korobkin and Yilmaz (2009) tarafından çözülen klasik iki boyutlu baraj kırılma problemine dönüştüğünü göstereceğiz. Alttaki daire içindeki radyal hızın tekillik analizi logaritmik tipte olması bekleniyor. İki-nci problemde, kavitasyonun sıvıdan daha az derin olduğu yerde, akış bölgesi silindirik kavitasyonun altındaki iç bölge ve akışın geri kalanı olan dış bölge olmak üzere iki bölgeye ayrılır. İlgili yeni problemler ayrı ayrı çözülür ve daha sonra katsayılar, akışkan radyal hızlarının ve basınçlarının aynı olduğu arayüzde eşleştirilerek bulunur. Yarıçapın ve kavitasyonun merkezinin sonsuzluğa yaklaştığı sınırlayıcı durumda, problem Yilmaz et al. (2013a) tarafından iki karışmaz sıvının iki boyutlu baraj kırılma akışına indirgenir. Kavitasyonun alt dairesinde, ikinci çalışmadaki aynı tip, tekillik gözlenir. Daha sonra, üçüncü bir problemde, dikey bir plakanın dikdörtgen bir bölümünün çökmesinden kaynaklanan yer çekimine dayalı akışı incelenir. Erken aşamada, akış hız potansiyeli ile tanımlanır. Hız potansiyelinin ve serbest yüzey şekillerinin belirlenmesine dikkat edilir. çözüm, Renzi and Dias (2013)'deki Fourier serisi yöntemini ve Yilmaz et al. (2013a)'daki sınır elemanı yöntemini izler. Dikdörtgensel kesitin yan ve alt kenarlarında tekillik göz-lenir. Başlangıçta dikey serbest yüzeyin yatay hızı, dikdörtgenin dikey simetri çizgisi boyunca iki boyutlu problem Korobkin and Yilmaz (2009) ile aynıdır. Bu problemlerde gözlenen tekillikler, ilk aşama için jet oluşumuna yol açar. Bu hesaplamalarda kullanılan yöntemlerin, yerçekimine dayalı serbest yüzey şekillerinin analizinde yararlı olması beklenmektedir. Bu tez, baraj kırılma problemlerinin 3-D genellemelerine bir katkıdır.